কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০, ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ হবে?

এই ধরণের গাণিতিক সমস্যার ক্ষেত্রে, যখন বলা হয় একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা কয়েকটি সংখ্যাকে ভাগ করলে নির্দিষ্ট ভাগশেষ থাকে, তখন প্রথমে প্রতিটি সংখ্যা থেকে তার সংশ্লিষ্ট ভাগশেষ বিয়োগ করতে হয়। এই বিয়োগফলগুলো হবে সেই বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা সম্পূর্ণভাবে বিভাজ্য। অর্থাৎ, এই বিয়োগফলগুলোর গ.সা.গু (HCF - Highest Common Factor) হবে আমাদের নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা।

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সংখ্যা এবং তাদের ভাগশেষগুলো হলো:

• ২৭ কে ভাগ করলে ভাগশেষ ৩
• ৪০ কে ভাগ করলে ভাগশেষ ৪
• ৬৫ কে ভাগ করলে ভাগশেষ ৫

প্রথমেই আমরা প্রতিটি সংখ্যা থেকে তার সংশ্লিষ্ট ভাগশেষ বিয়োগ করব:

১. \(২৭ - ৩ = ২৪\)

২. \(৪০ - ৪ = ৩৬\)

৩. \(৬৫ - ৫ = ৬০\)

এখন, আমাদের ২৪, ৩৬ এবং ৬০ এর গ.সা.গু. (HCF) নির্ণয় করতে হবে। এটিই হবে আমাদের কাঙ্ক্ষিত বৃহত্তম সংখ্যা।

আমরা উৎপাদকের সাহায্যে গ.সা.গু. নির্ণয় করব:

২৪ এর উৎপাদকসমূহ:

\(২৪ = ২ \times ২ \times ২ \times ৩ = ২^৩ \times ৩^১\)

৩৬ এর উৎপাদকসমূহ:

\(৩৬ = ২ \times ২ \times ৩ \times ৩ = ২^২ \times ৩^২\)

৬০ এর উৎপাদকসমূহ:

\(৬০ = ২ \times ২ \times ৩ \times ৫ = ২^২ \times ৩^১ \times ৫^১\)

সাধারণ উৎপাদকগুলোর সর্বনিম্ন ঘাত (Lowest Power) নিতে হবে:

• ২ এর সর্বনিম্ন ঘাত: \(২^২\)
• ৩ এর সর্বনিম্ন ঘাত: \(৩^১\)
• ৫ কোনো সাধারণ উৎপাদক নয়, তাই এটি গ.সা.গু নির্ণয়ের ক্ষেত্রে আসবে না।

সুতরাং, গ.সা.গু. \( = ২^২ \times ৩^১ = ৪ \times ৩ = ১২\)

অতএব, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১২।

বিকল্প পদ্ধতি (ভাগ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে গ.সা.গু.):

প্রথমে ২৪ এবং ৩৬ এর গ.সা.গু. নির্ণয় করি:

\(৩৬ \div ২৪\)

\(২৪ \overline{\text{) } ৩৬ \text{ (} ১}\)

\(\underline{\quad ২৪}\)

\(\quad ১২ \overline{\text{) } ২৪ \text{ (} ২}\)

\(\underline{\quad \quad ২৪}\)

\(\quad \quad ০\)

২৪ ও ৩৬ এর গ.সা.গু হলো ১২।

এখন এই ১২ এবং অবশিষ্ট সংখ্যা ৬০ এর গ.সা.গু. নির্ণয় করি:

\(৬০ \div ১২\)

\(১২ \overline{\text{) } ৬০ \text{ (} ৫}\)

\(\underline{\quad ৬০}\)

\(\quad ০\)

অতএব, ২৪, ৩৬ এবং ৬০ এর গ.সা.গু. হলো ১২।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

এক্ষেত্রে, অপশনগুলো পরীক্ষা করেও সঠিক উত্তরটি বের করা সম্ভব। প্রতিটি অপশন দ্বারা প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে ভাগ করে দেখতে হবে কোন ক্ষেত্রে সঠিক ভাগশেষগুলো (৩, ৪, ৫) পাওয়া যায়।

• আমরা অপশন ৩, অর্থাৎ ১২ কে পরীক্ষা করি:
• ২৭ কে ১২ দ্বারা ভাগ করলে: \(২৭ = ১২ \times ২ + ৩\) (ভাগশেষ ৩, যা সঠিক)
• ৪০ কে ১২ দ্বারা ভাগ করলে: \(৪০ = ১২ \times ৩ + ৪\) (ভাগশেষ ৪, যা সঠিক)
• ৬৫ কে ১২ দ্বারা ভাগ করলে: \(৬৫ = ১২ \times ৫ + ৫\) (ভাগশেষ ৫, যা সঠিক)

যেহেতু ১২ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক ভাগশেষ পাওয়া যায়, তাই ১২ হলো সঠিক উত্তর। অন্যান্য অপশনগুলো (১৬, ১৪, ১০) পরীক্ষা করলে দেখা যাবে যে তারা এই শর্ত পূরণ করে না। উদাহরণস্বরূপ, ১৬ দ্বারা ২৭ কে ভাগ করলে ভাগশেষ ১১ থাকে, যা ৩ নয়।